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Comment modéliser une développante de cercle ?
| La méthode décrite sur cette page est tirée des travaux de Serge DENNES, enseignant à l'ENSAM
Centre de Bordeaux, qui a développé un modèle de roue dentée générique.
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Télécharger l' exemple (V5R15)
Présentation de l'étude
L'objectif est de modéliser la surface d'une dent d'engrenage droit, générée à partir d'une courbe
dite "à développante de cercle". Cette courbe a pour équations paramétriques dans le repère (O,x,y,z) représenté ci-contre :
- X = Rb * [ sin(t' * PI) - cos(t' * PI) * t' * PI ]
- Y = Rb * [ cos(t' * PI) + sin(t' * PI) * t' * PI ]
avec Rb = rayon de base de la développante de cercle et 0 < t' < 0.35 pour les engrenages courants. Pour simplifier les écritures on pose t = t'*PI et les équations deviennent :
- X = Rb * [ sin(t) - cos(t) * t]
- Y = Rb * [ cos(t) + sin(t) * t]
avec Rb = rayon de base de la développante de cercle et 0 < t < 1
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Sous CATIA V5, il n'est pas possible de modéliser directement une courbe à partir de ses équations
paramétriques. Il va donc falloir passer par plusieurs étapes intermédiaires pour "contourner" cette limitation :
- Définition d'une courbe dans le plan XoZ
- Défintion d'une courbe dans le plan YoZ
- Combinaison de ces 2 courbes pour obtenir une courbe 3D
- Projection de cette courbe dans le plan XoY
On obtient alors la développante de cercle souhaitée. D'autres méthodes existent, reposant notamment sur
l'approximation de la développante par une spline passant par un nombre fini de points. Voir notamment,
la méthode proposée sur cette page.
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Préparation du modèle
Toute la modélisation se fera dans l'atelier "Generative Shape Design" : ici il n'est question
que de courbes et que de surfaces. Le seul paramètre explicite sera le rayon de base Rb que l'on créé donc. Sa valeur initiale est fixée à 50 mm. Dans
un nouveau set géométrique, on créé :
- Un point de coordonnées (0,Rb,0)
- Un point de cordonnées (0,0,0)
- Un point de coordonnées (0,0,100)
- Une droite D entre les deux derniers points
La droite créée nous servira dans quelques étapes pour la création des courbes dans les plans XoZ et YoZ
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Définition des lois
| Via l'icone du bas ci-contre, créez deux lois correspondant à X et Y en prenant bien garde :
à définir X et Y comme des longueurs et t comme un réel. Il est indispensable de rétablir l'homogénéïté de la formule en insérant * 1 rad
dans les opérateurs trigonométriques.
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Création des courbes
Via la commnde courbe parallèle, créer les deux courbes suivantes :
- Courbe verte : courbe décalée de la droite D en utilisant la loi X dans le plan XoZ
- Courbe violette : courbe décalée de la droite D en utlisant la loi Y dans le plan YoZ
Avec la commande Combinaison, créer la courbe de couleur bleu clair.
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Il vous reste à projeter (commande Projection) cette dernière courbe
sur le plan XoY pour obtenir la développante de cercle, représentée ci-contreen bleu foncé.
Il est à noter que la longueur de la droite D n'influe bien entendu absolument pas sur la forme de la développante de cercle. Vous pouvez modifier
la position du 3ème point et vous constaterez que la géométrie de la développante ne change pas.
Vous pouvez maintenant changer la valeur de Rb.
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